已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足AC•BC=0,设P为弦AB的中点,(1)求点P的轨迹T的方程;(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
问题描述:
已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足
•
AC
=0,设P为弦AB的中点,
BC
(1)求点P的轨迹T的方程;
(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
答
(1)连接CP,由
•
AC
=0,知AC⊥BC
BC
∴|CP|=|AP|=|BP|=
|AB|,由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2即|OP|2+|CP|2=9(4分)设点P(x,y),1 2
有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9化简,得到x2-x+y2=4(8分)
(2)根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px上,其中
=1,p 2
∴p=2,故抛物线方程为y2=4x(10分)由方程组
得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4(12分)
y2=4x
x2-x+y2=4
由于x≥0,故取x=1,此时y=±2,故满足条件的点存在的,其坐标为(1,-2)和(1,2)(14分)
答案解析:(1)先由条件求得AC⊥BC以及|CP|=|AP|=|BP|=
|AB|,再利用垂径定理得|OP|2+|CP|2=9整理即可求得点P的轨迹T的方程;1 2
(2)条件转化为求轨迹T与一抛物线是否有交点问题,把两个方程联立求解即可得出结论.
考试点:圆与圆锥曲线的综合;轨迹方程.
知识点:本题涉及到求轨迹方程问题.在求轨迹方程时,一般都是利用条件找到一个关于动点的等式,整理即可求出动点的轨迹方程.