已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0);(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

问题描述:

已知:抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0);
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)D是抛物线与y轴的交点,C是抛物线上的一点,且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式;
(3)E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5:2的点,如果点E在(2)中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△APE的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)抛物线的对称轴是x=-2,∵点A,B一定关于对称轴对称,
∴另一个交点为B(-3,0).
(2)∵A,B的坐标分别是(-1,0),(-3,0),∴AB=2,
∵对称轴为x=-2,∴CD=4;
设梯形的高是h.
∵S梯形ABCD=

1
2
×(2+4)h=9,
∴h=3,即|-t|=3,
∴t=±3,
当t=3时,把(-1,0)代入解析式得到a-4a+3=0,,解得a=1,
当t=-3时,把(-1,0)代入解析式得到a=-1,
∴a=1或a=-1,
∴解析式为y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3;
(3)由题意得,E在y=-
5
2
x上,且在x=-2右侧,与抛物线y=x2+4x+3联立可得x2+
13
2
x+3=0,∴x=-6或x=-
1
2

∵E与点A在此抛物线对称轴的同侧,∴E(-
1
2
5
4
).
A关于对称轴的对称点B(-3,0),连接B与E交对称轴于点P,
∵BE的方程为
y−0
5
4
−0
x+3
1
2
+3
,即y=
1
2
x+
3
2

∴x=-2时,y=
1
2
,即P(-2,
1
2
).
y=-
5
2
x与y=-x2-4x-3联立可得x2+
3
2
x+3=0,此方程无解
综上知,抛物线的对称轴上存在点P(-2,
1
2
),使△APE的周长最小.
答案解析:(1)求得抛物线的对称轴,利用点A,B一定关于对称轴对称,可得B的坐标;
(2)利用以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求得高,可得t的值,(-1,0)代入解析式,可得结论;
(3)由题意得,E在y=-
5
2
x上,且在x=-2右侧,分别与抛物线y=x2+4x+3联立,确定E的坐标,利用对称性,可使△APE的周长最小,从而可得结论.
考试点:直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.
知识点:本题考查抛物线的对称性,考查解析式的求解,考查利用对称性解决最值问题,属于中档题.