在对角线有相同长度d的所有矩形中．（1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值；（2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:28:24

问题描述：

在对角线有相同长度d的所有矩形中．
（1）怎样的矩形周长最长，求周长的最大值；
（2）怎样的矩形面积最大，求面积的最大值．

答

（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x²+y²=d²，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）
≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c²取到最大值8d²，
周长取到最大值2

d；
（2）由（1）矩形面积S=xy=

•2xy≤

（x²+y²）=

当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值

．
答案解析：（1）设矩形的两邻边长分别为x，y，易得x²+y²=d²，周长c=2（x+y），可得c²=4（x+y）²=4（x²+y²+2xy）≤4（x²+y²+x²+y²）=8d²，开方可得答案；
（2）由（1）矩形面积S=xy=

•2xy≤

（x²+y²）=

，注意等号成立的条件即可．
考试点：基本不等式．
知识点：本题考查基本不等式求最值，涉及矩形的周长和面积，属基础题．