在平面直角坐标系中 已知点A（0,4根号3）点B在X正半轴上 且∠ABO=30°动点P在线段图1,在平面直角坐标系中,已知点A（0.,4根号下3）,点B在x正半轴上,且∠ABO=30°,动点P在线段AB上从点A向点B 以每秒 根号下3 个单位的运动速度,设运动时间为t秒,在x轴上取两点M,N作等边△PMN.（1）求直线AB的解析式.（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）,并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值（3）如果去OB的重点为D,以OD为边在RT△AOB内部作如图2所示的矩形ODCD,点C在线段AB上,设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S,请求出当0＜t≤2秒时S与t的函数关系式,并求出S的最大值 

（1）由OA=4 3 ，∠ABO=30°，得到OB=12，
∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，
把A和B坐标代入得： b=4 3 12k+b=0 ，
解得： k=- 3 3 b=4 3 ，
则直线AB的解析式为：y=- 3 3 x+4 3 ．
（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=8 3 ，
∵AP= 3 t，
∴BP=AB-AP=8 3 - 3 t，
∵△PMN是等边三角形，
∴∠MPB=90°，
∵tan∠PBM=PM PB ，
∴PM=（8 3 - 3 t）× 3 3 =8-t．
如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，
可求得AQ=1 2 AP= 3 2 t，PS=QO=4 3 - 3 2 t，
∴PM=（4 3 - 3 t 2 ）÷ 3 2 =8-t，
当点M与点O重合时，
∵∠BAO=60°，
∴AO=2AP．
∴4 3 =2 3 t，
∴t=2．
（3）①当0≤t≤1时，见图2．
设PN交EC于点H，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．
∵∠GNH=60°，GH=2 3 ，
∴HN=2，
∵PM=8-t，
∴BM=16-2t，
∵OB=12，
∴ON=（8-t）-（16-2t-12）=4+t，
∴OH=ON-HN=4+t-2=2+t=EG，
∴S=1 2 （2+t+4+t）×2 3 =2 3 t+6 3 ．
∵S随t的增大而增大，
∴当t=1时，Smax=8 3 ．
②当1＜t＜2时，见图3．
设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．
作GH⊥OB于H，
∵FO=4 3 -2 3 t，
∴EF=2 3 -（4 3 -2 3 t）=2 3 t-2 3 ，
∴EI=2t-2．
∴S=S梯形ONGE-S△FEI=2 3 t+6 3 -1 2 （2t-2）（2 3 t-2 3 ）=-2 3 t2+6 3 t+4 3
由题意可得MO=4-2t，OF=（4-2t）× 3 ，PC=4 3 - 3 t，PI=4-t，
再计算S△FMO=1 2 (4-2t)2× 3 S△FMO=1 2 （4-2t）2× 3
S△PMN= 3 4 （8-t）2，S△PIG= 3 4 （4-t）2，
∴S=S△PMN-S△PIG-S△FMO= 3 4 （8-t）2- 3 4 （4-t）2-1 2 （4-2t）2× 3
=-2 3 t2+6 3 t+4 3
∵-2 3 ＜0，
∴当t=3 2 时，S有最大值，Smax=17 3 2 ．
③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，
设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部
分为等腰梯形IMNG，见图4．S= 3 4 ×62- 3 4 ×22=8 3 ，
综上所述：当0≤t≤1时，S=2 3 t+6 3 ；
当1＜t＜2时，S=-2 3 t2+6 3 t+4 3 ；
当t=2时，S=8 3 ．
∵17 3 2 ＞8 3 ，
∴S的最大值是17 3 2 ．

1）求直线AB解析式； 在Rt△ABO中，AO=4√3，∠ABO=30° 所以，AB=2AO=8√3 故根据勾股定理有，B0=12 所以，B(12,0) 设AB所在直线的解析式为：y=kx+b 将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式，得到： k=-√3/3 b=4√3 所以，y=(-√3/3)x+4√3 （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值； 因为△PMN为等边三角形，所以：∠MPN=∠PNM=60° 而，∠PNM=∠NPB+∠B=∠NPB+30° 所以，∠NPB=30° 所以，∠MPB=∠MPN+∠NPM=60°+30°=90° 即，MP⊥AB 亦即，△MPB为直角三角形 又，PM=MN=PN=BN 所以，N为Rt△MPB中点 所以，PM=MN=PN=BM/2 当AP=√3t时，PB=8√3-√3t=√3*(8-t) 那么，在Rt△MPB中，MBP=30° 所以，BM=[√3*(8-t)]/(√3/2)=2*(8-t) 所以，PM=NM=PN=BM/2=(8-t) 当M与O重合时，Rt△PMB即为Rt△PBO 此时，PM=PO=BO/2=6 所以：8-t=6 t=2 （3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值。 如图，设PM交CE于F，交AO于H；PN交CE于G 由（2）知，当t=2时，M与O重合 而，当t=1时，PM经过点E 所以，当0≤t≤1时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为直角梯形ONGE 而，当1≤t≤2时，△OMN与矩形ODCE的重叠部分为图中阴影部分 过点P作AO的垂线，垂足为Q；作CE的垂线，垂足为S 因为D是BO中点，所以：C、E分别为AB、AO中点 所以，点C(6,2√3) 因为PQ//CE//BO 所以：AP/AC=PQ/CE 即：(√3t)/(4√3)=PQ/6 所以，PQ=3t/2 所以，由勾股定理有：AQ=√3t/2 所以，QE=PS=AE-AQ=2√3-(√3t/2) 因为CE//BO，所以：△PFG∽△PMN 即，△PFG也为等边三角形 而，PS⊥FG 所以，S为FG中点 且∠GPC=∠GCP=30° 所以，PG=GC 那么，FG=GC=(2/√3)*PS=(2/√3)*[2√3-(√3t/2)]=4-t 而，CE=OD=6 所以，EF+FG+GC=EF+2*FG=EF+(8-2t)=6 所以：EF=2t-2 所以，EG=EF+FG=2t-2+4-t=t+2 而，在Rt△EFH中，∠EHF=30° 所以，EH=(√3)EF 所以，Rt△EFH的面积=(1/2)EF*EH=(√3/2)EF^2 =(√3/2)*[2(t-1)]^2 =2√3(t-1)^2 由（1）知，BN=PN=8-t 所以，ON=OB-BN=12-(8-t)=4+t 所以，直角梯形ONGE的面积=[(EG+ON)*OE]/2 =[(t+2+4+t)*2√3]/2 =2√3(t+3) 所以，阴影部分的面积S=[2√3(t+3)]-[2√3(t-1)^2] =(2√3)[(t+3)-(t-1)^2] =(2√3)(-t^2+3t+2) 因为1≤t≤2，所以，二次函数-t^2+3t+2有最大值 则，当t=-b/2a=3/2时： Smax=17/4

1）求直线AB解析式； 在Rt△ABO中,AO=4√3,∠ABO=30° 所以,AB=2AO=8√3 故根据勾股定理有,B0=12 所以,B(12,0) 设AB所在直线的解析式为：y=kx+b 将A(0,4√3)、B(12,0)代入上式,得到：k=-√3/3 b=4√3 所以,y=(-√3/3...