如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2 （1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求二面角P-BC-A的大小；（3）求三棱锥P-AEF的体积．
问题描述：
如图，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC，PA=AB=BC=2
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）求二面角P-BC-A的大小；
（3）求三棱锥P-AEF的体积．
答
（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，
∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC；
（2）∵BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，
结合AB⊥BC，可得∠PBA是二面角P-BC-A的平面角，
∵Rt△PAB中，PA=AB=2，∴∠PBA=45°，
由此可得二面角P-BC-A的大小为45°；
（3）由（1）AE⊥平面PBC
又∵AF⊥PC
∴EF⊥PC（三垂线定理逆定理）
∴△PEF∽△PCB
∴=
=S△PEF S△PBC
=PE2
PC2
，∴S△PEF=1 6
S△PBC=1 6
，
2
3
∴VP-AEF=VA-PEF=
×1 3
×
2
=
2
3
．2 9