如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝6，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC． （Ⅰ）求证：PA⊥BC； （Ⅱ）求PC的长度； （Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．
问题描述：
如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝
，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，平面PAB⊥平面ABC．
6
（Ⅰ）求证：PA⊥BC；
（Ⅱ）求PC的长度；
（Ⅲ）求二面角P-AC-B的大小．
答
（Ⅰ）证明：∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
且BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB．（3分）
∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．（4分）
（Ⅱ）∵PA＝PB＝
，PA⊥PB，∴AB＝2
6
．
3
∵AB⊥BC，∠BAC=30°，∴BC=AB•tan30°=2．（7分）
∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，∴PC＝
＝
PB2+BC2
．（9分）
10
（Ⅲ）作PO⊥AB于点O，OM⊥AC于点M，连接PM．∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，根据三垂线定理得PM⊥AC，∴∠PMO是二面角P-AC-B的平面角．（12分）
在Rt△AMO中，OM＝AO•sin30°＝
，AO 2
易知AO=PO，
∴tanPMO＝
＝PO OM
＝2，（13分）AO OM
即二面角P-AC-B的大小是arctan2（14分）