三棱锥P—ABC,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.求二面角C—PA—B的正弦值

问题描述:

三棱锥P—ABC,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB.求二面角C—PA—B的正弦值

取AP的中点E,连结CE、DE.
∵PC=AC=2,∴CE⊥PA,CE=根号2
∵CD⊥平面PAB,
由三垂线定理的逆定理,得DE⊥PA.
∴∠CED为二面角C—PA—B的平面角.
易证AB⊥平面PCB,∴AB⊥BC,
又∵AB=BC,AC=2,求得BC=根号2
∴易得CD=2/根号3
∴正弦值为(根号6)/3