如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点． （1）证明：AC1∥平面B1MC； （2）证明：平面D1B1C⊥平面B1MC．
问题描述：
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M为棱AB的中点．
（1）证明：AC1∥平面B1MC；
（2）证明：平面D1B1C⊥平面B1MC．
答
证明：（1）如图，
连接BC1交B1C于点O，则O是BC1的中点，
又因为M 是AB的中点，连接OM，则OM∥AC1．
因为OM⊂平面B1MC，AC1⊄平面B1MC，
所以AC1∥平面B1MC．
（2）因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1，
所以AB⊥B1C．
又因为B1C⊥BC1，且AB∩BC1=B，所以B1C⊥平面ABC1．
因为AC1⊂平面ABC1，AC1⊥B1C．
同理，AC1⊥B1D1．因为B1D1∩B1C=B1，
所以AC1⊥平面D1B1C．
因为OM∥AC1，所以OM⊥平面D1B1C．OM⊂平面B1MC，所以平面D1B1C⊥平面B1MC．