如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且DF＝1/2AB，PH为△PAD中AD边上的高． （1）证明：PH⊥平面ABCD； （2）若PH=1，AD＝2，FC=1，求三棱锥E
问题描述：
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且DF＝
AB，PH为△PAD中AD边上的高．1 2
（1）证明：PH⊥平面ABCD；
（2）若PH=1，AD＝
，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
2
（3）证明：EF⊥平面PAB．
答
（1）证明：∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH为△PAD中AD边上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，
∵E是PB的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
则EG＝
PH＝1 2
，1 2
∴VE−BCF＝
S△BCF•EG＝1 3
•1 3
•FC•AD•EG=1 2
2
12
（3）证明：如图，取PA中点M，连接MD，ME，
∵E是PB的中点，
∴ME
∥ . .
AB，1 2
∵DF
∥ . .
AB，1 2
∴ME
DF，
∥ . .
∴四边形MEDF是平行四边形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．