An 是正项数列,Sn是An的部分和.
问题描述：
An 是正项数列,Sn是An的部分和.
那么 条件1：Sn有上界
条件2：An收敛
这两个条件是什么关系?为什么?
答
【条件1：Sn有上界】是【条件2：An收敛】的必要非充分条件.
因为An收敛,则An【单调】有界.那么Sn就一定有界.
但Sn有界并不能保证An一定【单调】有界即收敛.
所以前者应该是后者的必要非充分条件.
比如An=（-1)^n
S1=1
S2=1-1
S3=1-1+1
……
Sn=1-1+…+（-1)^n
则|Sn|不对，答案错了，应该是充要条件证明：An＞0，可知S（n+1）=Sn+A（n+1）≥Sn≥0于是，{Sn}是单调增加数列因此，根据单调有界数列必有极限的定理若{Sn}有上界，则极限lim（n-∞）Sn存在所以级数An收敛若无上界，lim（n-∞）Sn=+∞从而级数An发散这是书本的定理
看图