若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,m≠n)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是_.

问题描述:

若直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,m≠n)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,则mn的取值范围是______.

圆的方程x2+y2-4x-2y-4=0化为(x-2)2+(y-1)2=9,可得圆心C(2,1).
∵直线mx+2ny-4=0(m,n∈R,m≠n)始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长,
∴圆心C在直线上,∴2m+2n-4=0,化为m+n=2.
当m>0,n>0,m≠n时,2=m+n>2

mn
,化为mn<1.
当mn=0时,mn=0.
当m<0或n<0(不同时成立)时,mn<0.
综上可知mn的取值范围是(-∞,1).
故答案为(-∞,1).