若直线2ax-by+2=0(a,b∈R)始终平分x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则a•b的取值范围是(  ) A.(-∞,14] B.(0,14) C.(0,14] D.(-∞,14)

问题描述:

若直线2ax-by+2=0(a,b∈R)始终平分x2+y2+2x-4y+1=0的周长,则a•b的取值范围是(  )
A. (-∞,

1
4
]
B. (0,
1
4

C. (0,
1
4
]
D. (-∞,
1
4

∵直线2ax-by+2=0(a、b∈R)始终平分x2+y2+2x-4y+1=0的周长,
∴圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上,可得-2a-2b+2=0
解得b=1-a
∴a•b=a(1-a)=-(a-

1
2
2+
1
4
1
4
,当且仅当a=
1
2
时等号成立
因此a•b的取值范围为(-∞,
1
4
]
故选:A