证明内角平分线定理的八种方法
问题描述：
证明内角平分线定理的八种方法
已知△ABC,AD平分角BAC交BC于点D,求证AB/AC=BD/CD.
答
1.三角形正弦定理证：
三角形abd中：sin（bad）：sin（bda）=bd：ab,在三角形adc中：sin（cad）：sin（cda）=dc：ac,
sin（bda）=sin（cda）,所以：ab：ac=bd：cd
面积法S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM，∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比。即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM∴AB/AC=MB/MC
相似形
过C作CN∥AB交AM的延长线于N
则△ABM∽△NCM
∴AB/NC=BM/CM
又可证明∠CAN=∠ANC
∴AC=CN
∴AB/AC=MB/MC
相似形
过M作MN∥AB交AC于N则△ABC∽△NMC,
∴AB/AC=MN/NC
而在△ABC内，∵MN∥AB
∴AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
∴AN=MN
∴AB/AC=AN/NC
∴AB/AC=MB/MC