已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆c：（x-2)^2+(y-3）^2=1,相交于M,N两点.1.求实数k的取值范围 2.若O
问题描述：
已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆c：（x-2)^2+(y-3）^2=1,相交于M,N两点.1.求实数k的取值范围 2.若O
答
解答如下：设直线方程为y - 1 = kxy - kx - 1 = 0圆心为（2,3）,半径为1,所以圆心到直线的距离为|3 - 2k - 1|/√（k² + 1）要使直线和圆有两个交点所以圆心到直线的距离小于半径|3 - 2k - 1|/√（k² + 1）...若O为坐标原点，且向量OM*向量ON=12.求k的值。y = kx + 1代入圆的方程 （x - 2）² + （kx - 2）² = 1 （1 + k²）x² - （4 + 4k）x + 7 = 0 因为交点为M和N，所以解出来的两个x为M和N的横坐标 记为x1和x2 根据韦达定理有，x1 + x2 = （4 + 4k）/（1 + k²） x1 x2 = 7/（1 + k²） OM * ON = （x1，y1）（x2，y2） = x1x2 + y1y2 = 7/（1 + k²）+ （kx1 + 1）（kx2 + 1） = 7/（1 + k²）+ k² * 7/（1 + k²）+ k（4 + 4k）/（1 + k²）+ 1 = 8 + k（4 + 4k）/（1 + k²）= 12 所以k（4 + 4k）/（1 + k²）= 4 4k + 4k² = 4 + 4k² 解得k = 1