已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆c:(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交于M,N两点.1.求实数k的取值范围 2.若O

问题描述:

已知过点A(0,1),且斜率为k的直线l与圆c:(x-2)^2+(y-3)^2=1,相交于M,N两点.1.求实数k的取值范围 2.若O

解答如下:设直线方程为y - 1 = kxy - kx - 1 = 0圆心为(2,3),半径为1,所以圆心到直线的距离为|3 - 2k - 1|/√(k² + 1)要使直线和圆有两个交点所以圆心到直线的距离小于半径|3 - 2k - 1|/√(k² + 1)...若O为坐标原点,且向量OM*向量ON=12.求k的值。y = kx + 1代入圆的方程 (x - 2)² + (kx - 2)² = 1 (1 + k²)x² - (4 + 4k)x + 7 = 0 因为交点为M和N,所以解出来的两个x为M和N的横坐标 记为x1和x2 根据韦达定理有,x1 + x2 = (4 + 4k)/(1 + k²) x1 x2 = 7/(1 + k²) OM * ON = (x1,y1)(x2,y2) = x1x2 + y1y2 = 7/(1 + k²)+ (kx1 + 1)(kx2 + 1) = 7/(1 + k²)+ k² * 7/(1 + k²)+ k(4 + 4k)/(1 + k²)+ 1 = 8 + k(4 + 4k)/(1 + k²)= 12 所以k(4 + 4k)/(1 + k²)= 4 4k + 4k² = 4 + 4k² 解得k = 1