已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y＝f(x−1/2)是偶函数． （1）求f（x）的解析式； （2）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完
问题描述：
已知二次函数y=f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），且函数y＝f(x−
)是偶函数．1 2
（1）求f（x）的解析式；
（2）函数y=f（x）的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答
（1）因为函数y＝f(x−
)是偶函数，1 2
所以二次函数f（x）=x2+bx+c的对称轴方程为x＝−
，故b=1．----------------------（4分）1 2
又因为二次函数f（x）=x2+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x2+x+11．-------------------------------------（5分）
（2）如果函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，设为P（m，n2），其中m为正整数，n为自然数，则m2+m+11=n2，从而4n2-（2m+1）2=43，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=43．------------------（9分）
注意到43是质数，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，所
以有
解得
2n+(2m+1)＝43 2n−(2m+1)＝1
m＝10 n＝11.
因此，函数y=f（x）的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）．（14分）