如图,已知:A(m,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=3/x的交点 (1)求m的值;(2)若该一次函数分别与x轴y轴交于E、F两点,且直角△EOF的外心为点A.试求它的解析式;(3)在y=3/x的图象

问题描述:

如图,已知:A(m,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数y=

3
x
的交点

(1)求m的值;
(2)若该一次函数分别与x轴y轴交于E、F两点,且直角△EOF的外心为点A.试求它的解析式;
(3)在y
3
x
的图象上另取一点B,作BK⊥x轴于K,将(2)中的一次函数图象绕点A旋转后所得的直线记为l,若l与y轴的正半轴交于点C,且4CO=FO.试问:在y轴上是否存在点P,使得两个三角形的面积S△PCA=S△BOK?若存在,求点P的坐标,若不存在,请说明理由.

(1)把点A(m,2)代入反比例函数y=

3
x
中,得m=
3
2
(2分)
(2)根据直角三角形的外心是直角三角形的斜边的中点,则点A是EF的中点.又A(
3
2
,2),
∴E(3,0),F(0,4)
把E,F代入,得
3k+b=0
b=4
.解得
k=-
4
3
b=4

y=-
4
3
x+4
(3分)
(3)原直线绕点A旋转所得直线交y轴的正半轴于C,且OC=
1
4
OF,F(0,4)

得C(0,1)
∵B(xB,yB)在y=
3
x
上,则有xB•yB=3,
由题意有S△BOK=
1
2
|xByB|=
3
2
(4分)
设y轴上点P(0,yP),满足S△PCA=S△BOK
①若点P在点C上方,即y>1,有S△PCA=
1
2
|yP-1|•|xA|=
1
2
(y-1)•
3
2
=
3
2

∴y=3,此时P(0,3)(3分);
②若点P在点C下方,即y<1,有S△PCA=
1
2
|yP-1|•|xA|=
1
2
(1-y)•
3
2
=
3
2

∴y=-1,此时P(0,-1)(2分).