设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

问题描述:

f(x)=

ex
1+ax2
,其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.

f(x)=

ex
1+ax2

∴f'(x)=ex
1+ax2−2ax
(1+ax2)2

∵f(x)为R上的单调函数,
∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在R上恒成立,
又∵a为正实数,
∴f'(x)≥0在R上恒成立,
∴ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,
∴△=4a2-4a=4a(a-1)≤0,解得0≤a≤1,
∵a>0,
∴0<a≤1,
∴a的取值范围为0<a≤1.