设f(x)=ex1+ax2,其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围.
问题描述:
设f(x)=
,其中a为正实数.若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. ex 1+ax2
答
∵f(x)=
,ex 1+ax2
∴f'(x)=ex•
,1+ax2−2ax (1+ax2)2
∵f(x)为R上的单调函数,
∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在R上恒成立,
又∵a为正实数,
∴f'(x)≥0在R上恒成立,
∴ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,
∴△=4a2-4a=4a(a-1)≤0,解得0≤a≤1,
∵a>0,
∴0<a≤1,
∴a的取值范围为0<a≤1.