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已知关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，又k为正整数，求代数式k2−1k2+k−6的值．

分类: 作业答案 • 2023-01-07 13:05:30
问题描述：

已知关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实数根，又k为正整数，求代数式

k2−1
k2+k−6
的值．

答

设方程x2+3x+a=0①的两个根为x1、x2，则

x1+x2＝−3
x1•x2＝a
△＝9−4a≥0

由条件知
1
x1
+
1
x2
＝
x1+x2
x1•x2
=3
即
−3
a
＝3且a≤
9
4
，故a=-1．（5分）
则方程（k-1）x2+3x-2a=0②为（k-1）x2+3x+2=0
当k-1=0即k=1时，
k2−1
k2+k−6
=0；
当k-1≠0时，△=9-8（k-1）=17-8k≥0，∴k≤
17
8
．
又∵k是正数，且k-1≠0，∴k=2，但使
k2−1
k2+k−6
无意义．
综上，代数式
k2−1
k2+k−6
的值为0．（10分）

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