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已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．

分类: 作业答案 • 2023-01-07 01:04:10
问题描述：

已知数列{an}满足an+an+1=2n+1（n∈N*），求证：数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．

答

充分性：∵an+an+1=2n+1，
∴an+an+1=n+1+n，
即an+1-（n+1）=-（an-n），
若a1=1，则a2-（1+1）=-（a1-1）=0，
∴a2=2，以此类推得到an=n，
此时{an}为等差数列．
必要性：
∵an+an+1=2n+1，
∴an+2+an+1=2n+3，
两式相减得an+2-an=2，
若数列{an}为等差数列，则an+2-an=2d，
即2d=2，∴d=1．
则an+an+1=2an+1=2n+1，
∴an=n，即a1=1成立．
综上数列{an}为等差数列的充要条件是a1=1．

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