如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.
问题描述:
如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.
答
证法一:过M作MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q为垂足(如图),连接PQ.
∵MP∥AB,NQ∥AB,∴MP∥NQ.
又NQ=
BN=
2
2
CM=MP,∴MPQN是平行四边形.
2
2
∴MN∥PQ,PQ⊂平面BCE.
而MN⊄平面BCE,
∴MN∥平面BCE.
证法二:过M作MG∥BC,交AB于点G(如图),连接NG.
∵MG∥BC,BC⊂平面BCE,
MG⊄平面BCE,
∴MG∥平面BCE.
又
=BG GA
=CM MA
,BN NF
∴GN∥AF∥BE,同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G,
∴平面MNG∥平面BCE.又MN⊂平面MNG.∴MN∥平面BCE.