高中立体几何——线面问题边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M为BD上一点,N为AE,且BM=EN,求证MN垂直于AB.注：此题无图,若再副上一幅图来解再加分
问题描述：
高中立体几何——线面问题
边长相等的两个正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB,M为BD上一点,N为AE,且BM=EN,求证MN垂直于AB.
注：此题无图,若再副上一幅图来解再加分
答
过M点作MO⊥AB交AB于O点,连接NO,过O点作OP‖AE交BE于P点,如图
由MO⊥AB易得△OMB为等腰直角三角形,设BM=NE=x,则有BO=xcos45°
∵OP‖AE
∴∠POB=∠EAB=45°,△POB为等腰直角三角形
∴OP=BO/cos45°=xcos45°/cos45°=x=EN
又∵OP‖AE
∴四边形NEOP为平行四边形
∴NO‖BE
∴∠NOA=∠EBA=90°,即AB⊥NO
又∵AB⊥MO
∴AB⊥面OMN
∴AB⊥MN