已知定义在实数R上的函数y=f(x)不恒为零,同时满足f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1,那么当x<0时,一定有(  )A. f(x)<-1B. -1<f(x)<0C. f(x)>1D. 0<f(x)<1

问题描述:

已知定义在实数R上的函数y=f(x)不恒为零,同时满足f(x+y)=f(x)f(y),且当x>0时,f(x)>1,那么当x<0时,一定有(  )
A. f(x)<-1
B. -1<f(x)<0
C. f(x)>1
D. 0<f(x)<1

对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),
可令x=1,y=0 可得 f(0+1)=f(0).f(1)
因为当x>0时,f(x)>1,故f(1)>1>0
所以 f(0)=1
再取x=-y,可得f(0)=f(-y+y)=f(-y)•f(y)=1
所以f(-y)=

1
f(y)
,同理得f(-x)=
1
f(x)

当x<0时,-x>0,根据已知条件得f(-x)>1,即
1
f(x)
>1
变形得0<f(x)<1;
故选D.
答案解析:根据f(x+y)=f(x)•f(y)恒成立,考虑取x=0代入,可得f(0)=1,再取x=-y,可得f(-y)=
1
f(y)
,再结合条件
x>0时,有0<f(x)<1,经过变形化简可得x<0时,0<f(x)<1成立.
考试点:抽象函数及其应用.
知识点:本题主要考查抽象函数的函数值和取值范围的求解,属于中档题.解决问题的关键是赋值和构造,注意构造的技巧在解决本题中的应用.