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求证X无论取什么有理数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:01:35
问题描述：

求证X无论取什么有理数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

答

由已知条件得
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1＝（X+1）（X+4）（X+2）（X+3）＋1
=(X^2＋5X+4)(X^2+5X+6)+1
则设X^2＋5X＝M
则原式等于：
(M+4)(M+6)+1=M^2+10M+25=(M+5)^2=(X^2＋5X+5)^2
由于X^2＋5X+5＝0有解，（X^2＋5X+5)^2一定大于零
则X无论取什么有理数，多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

答

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
=(x^2+5x+5)^2-1+1=(x^2+5x+5)^2

答

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=[(x^2+5x)+4][(x^2+5x)+6]+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+24+1
=(x^2+5x)^2+10(x^2+5x)+25
=(x^2+5x+5)^2
是完全平方
所以是非负数

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