求证:不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

证明：
∵ 原式=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x²+5x+5-1)(x²+5x+5+1)+1
=(x²+5x+5)²-1+1
=(x²+5x+5)²≥0
∴ x∈R，(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1≥0恒成立，即：
不论x取什么实数，多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+3)(x+2)+1
=（x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令x2+5x=t
原式=（t+4)(t+6）+1
=t2+10t+25
=(t+5)2>=0
所以(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x^2+5x+5-1)(x^2+5x+5+1)+1
=(x^2+5x+5)^2-1+1
=(x^2+5x+5)^2
>=0
不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数

=【（x+1）（x+4）】【（x+2）（x+3）】+1
=【x^2+5x+4】【x^2+5x+6】+1
=【（x^2+5x+5）-1】【（x^2+5x+5）+1】+1
=（x2+5x+5）^2-1+1
=（x2+5x+5）^2
∵ 任何数的平方都≥0
∴ 不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数