如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，（1）求证：△ACE∽△ADC；（2）如果CE=1，CD=2，求AC的长．
问题描述：
如图，已知△ABC中，AB=AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D，
（1）求证：△ACE∽△ADC；
（2）如果CE=1，CD=2，求AC的长．
答
知识点：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形．解答该题时，利用三角函数的定义求相关线段间的数量关系是解题的关键．
（1）证明：∵∠D=90°-∠DEC=90°-∠BEA=∠B（2分）∵AB=AC，∴∠ACE=∠B，∴∠D=∠ACE（1分）又∠EAC=∠CAD（公共角）（1分）∴△ACE∽△ADC（AA）（2分）（2）设AC=AB=x∵AEAB＝tgB＝tgD＝12∴AE＝12AB＝12x（2分...
答案解析：（1）由对顶角相等、等角的余角相等求得∠D=∠B；然后根据等腰三角形ABC的两个底角相等、等量代换推知∠D=∠ACE；最后由公共角∠EAC=∠CAD证明△ACE∽△ADC（AA）；
（2）设AC=AB=x．利用（1）中的∠D=∠B、直角三角形的正切三角函数的定义推知AE=
AB=1 2
x；然后根据勾股定理求得AD=AE+ED=1 2
+x 2
；最后根据△ACE∽△ADC的对应边成比例列出关于x的方程，解方程即可．
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考试点：相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
知识点：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形．解答该题时，利用三角函数的定义求相关线段间的数量关系是解题的关键．