已知关于x的二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,误求得两根为1和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-2和6,则b+2c3a的值为______.

问题描述:

已知关于x的二次方程ax2+bx+c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,误求得两根为1和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-2和6,则

b+2c
3a
的值为______.

对于甲:设k(x-1)(x-4)=0
得kx2-5kx+4k=0.
对于乙:设p(x+2)(x-6)=0
得px2-4px-12p=0
从这两个方程可看出:无论怎么错误,甲和乙的方程里面常量只是符号相反,
所以4k=12p即

k
p
=3,p=
k
3

b+2c
3a
=
−5k+2×4k
3p
=
3k
3p
=
3k
k
=3
答案解析:先利用两根分别表示出错误的方程为:甲,设k(x-1)(x-4)=0得kx2-5kx+4k=0;乙,设p(x+2)(x-6)=0得px2-4px-12p=0,从方程中可以看出二次项和一次项的符号相同而常数项符号相反,所以无论怎么错误,甲和乙的方程里面常量只是符号相反,就是4k=12p,即
k
p
=3,把第一个方程中的一次项和常数项,第二个方程中的二次项代入所求代数式中化简后可解.
考试点:解一元二次方程-因式分解法;一元二次方程的解.

知识点:本题难度不小,需要利用方程的两根来表示出两个错误的方程,并通过比较后,得出初步判断为无论怎么错误,甲和乙的方程里面常量只是符号相反这个关键的等量关系,然后通过等量代换求解.此题要求十分熟悉一元二次方程的特点,以及方程之间的关系.