已知a>0,函数f(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3,g(x)=-ax+1,若在区间[-1/2,1/2]上至少存在一个实数x0,使f(x0)>=g(x0)成立,求实数a的取值范围.
问题描述：
已知a>0,函数f(x)=1/3a^2x^3-ax^2+2/3,g(x)=-ax+1,若在区间[-1/2,1/2]上至少存在一个实数x0,使f(x0)>=g(x0)成立,求实数a的取值范围.
答
令h(x)=f(x)-g(x)=1/3a^2x^3-ax^2+ax-1/3
则在[-1/2,1/2]上, h(x)>0有解,即h(x)的最大值需大于0
h'(x)=a^2x^2-2ax+a=a(ax^2-2x+1)
因x=0, a>0,故h'(x)>=0, 所以h(x)单调增
最大值为h(1/2)=1/24*a^2-a/4+a/2-1/3=1/24*(a^2+6a-8)>0
得：a>-3+√17
答
令h(x)=f(x)-g(x)=1/3a^2x^3-ax^2+ax-1/3则在[-1/2,1/2]上,h(x)>0有解,即h(x)的最大值需大于0h'(x)=a^2x^2-2ax+a=a(ax^2-2x+1)因x=0,a>0,故h'(x)>=0,所以h(x)单调增最大值为h(1/2)=1/24*a^2-a/4+a/2-1/3=1/24*(a^2+6...