如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,CD⊥AB,垂足为P,求证:PC2=PA•PB.

问题描述:

如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,CD⊥AB,垂足为P,求证:PC2=PA•PB.

证明:连接AC,BD,
∵∠A=∠D,∠C=∠B,
∴△APC∽△DPB.

CP
BP
=
AP
DP

∴CP•DP=AP•BP.
∵AB是直径,CD⊥AB,
∴CP=PD.
∴PC2=PA•PB.
答案解析:连接AC,BD,先证明△APC∽△DPB,得到CP•DP=AP•BP,再根据垂径定理得到CP=PD,等量代换可得PC2=PA•PB.
考试点:垂径定理;相似三角形的判定与性质.

知识点:主要考查了垂径定理和相交弦定理的运用.相交弦定理可通过△APC∽△DPB来证明得到,注意垂径定理和相交弦定理的灵活运用,两者相结合多见于证明射影定理.