在三角形ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,点D是BC边上的动点,向量AD=x向量AB+y向量AC,当xy取最大值时,AD的长度为

问题描述:

在三角形ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,点D是BC边上的动点,向量AD=x向量AB+y向量AC,当xy取最大值时,AD的长度为

过D点作DE⊥AC于E,则向量ED=x,向量AE=y,则
DE/AB=CE/AC
x/3=(4-y)/4
4x+3y=12
12xy≤[(4x+3y)/2]^2=36
xy≤3,且仅当4x=3y时等号成立,即x=3/2,y=2时等号成立
AD=√(x^2+y^2)=5/2