已知数列bn的首项b1=3/5,b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)

问题描述:

已知数列bn的首项b1=3/5,b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)
(1)求证数列{(1/bn)-1}为等比数列 (2)求数列{1/bn}的前n项和Sn

1
∵b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)
∴1/b(n+1)=(2bn+1)/(3bn)=2/3+1/(3bn)
∴[1/b(n+1)-1]/(1/bn-1)
=[2/3+1/(3bn)-1]/(1/bn-1)
=1/3*(1/bn-1)/(1/bn-1)
=1/3
∴数列{1/bn-1}为等比数列
公比为1/3
2
由1知:1/bn-1=(1/b1-1)*(1/3)^(n-1)=2/3^n
∴1/bn=1+2/3^n
∴{1/bn}的前n项和 (分组:前面是常数,后面等比)
Sn=n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)=n+1-1/3^n