已知(x+ay)dx+ydy(x+y)2为某函数的全微分，a则等于（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2
问题描述：
已知
为某函数的全微分，a则等于（ ）(x+ay)dx+ydy (x+y)2
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答
知识点：本题考查全微分的定义及全微分存在的充要条件．需要注意：偏导数是将其他自变量当成常数来求函数导函数．
由
为某函数的全微分，记该函数为f，则有：(x+ay)dx+ydy (x+y)2
df＝
dx+∂f ∂x
dy，∂f ∂y
∂ ∂x
＝∂f ∂y
∂ ∂y
，∂f ∂x
因此，
＝∂f ∂x
，x+ay (x+y)2
＝∂f ∂y
y (x+y)2
∂ ∂y
＝∂f ∂x
∂ ∂y
＝x+ay (x+y)2
−2a (x+y)2
＝x+ay (x+y)3
(a−2)x−ay (x+y)3
∂ ∂x
＝∂f ∂y
∂ ∂x
＝−2y (x+y)2
y (x+y)3
所以，
＝(a−2)x−ay (x+y)3
−2y (x+y)3
所以，a=2
故选：D．
答案解析：根据函数全微分存在及其与偏微分之间的关系即全微分的充要条件
∂ ∂x
＝∂f ∂y
∂ ∂y
，解之即可得到a．∂f ∂x
考试点：全微分方程的定义．
知识点：本题考查全微分的定义及全微分存在的充要条件．需要注意：偏导数是将其他自变量当成常数来求函数导函数．