已知(x+ay)dx+ydy(x+y)2为某函数的全微分,a则等于(  )A. -1B. 0C. 1D. 2

问题描述:

已知

(x+ay)dx+ydy
(x+y)2
为某函数的全微分,a则等于(  )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2

(x+ay)dx+ydy
(x+y)2
为某函数的全微分,记该函数为f,则有:
df=
∂f
∂x
dx+
∂f
∂y
dy
∂x
∂f
∂y
∂y
∂f
∂x

因此,
∂f
∂x
x+ay
(x+y)2
∂f
∂y
y
(x+y)2

∂y
∂f
∂x
∂y
x+ay
(x+y)2
a
(x+y)2
−2
x+ay
(x+y)3
(a−2)x−ay
(x+y)3

∂x
∂f
∂y
∂x
y
(x+y)2
=−2
y
(x+y)3

所以,
(a−2)x−ay
(x+y)3
−2y
(x+y)3

所以,a=2
故选:D.
答案解析:根据函数全微分存在及其与偏微分之间的关系即全微分的充要条件
∂x
∂f
∂y
∂y
∂f
∂x
,解之即可得到a.
考试点:全微分方程的定义.

知识点:本题考查全微分的定义及全微分存在的充要条件.需要注意:偏导数是将其他自变量当成常数来求函数导函数.