表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 ___ .

问题描述:

表面积为2

3
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 ___ .

由题意表面积为2

3
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,故每个侧面三角形的面积都是
3
4
且为等边三角形,设其边长为a,则有
1
2
×a×a×sin60°
=
3
4
,解得a=1
故此四点组成的正方形的对角线的长为
2
,球的半径是
2
2

所以此球的体积为
4
3
 ×π×(
2
2
)
3
=
2
3
π

故答案为
2
3
π

答案解析:表面积为2
3
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则其中四点所组成的截面在球的一个大圆面上,可得,此四点组成的正方形是球的大圆的一个内接正方形,其对角线的长度即为球的直径,由此问题归结为求此四点组成的正方形的边长,直径是此边长的
2

考试点:球的体积和表面积.
知识点:本题考查球的表面积与体积公式,解此题的关键是理解“表面积为2
3
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,”这个题设条件,得出球的直直径恰好是正八面体中间那个正方形的对角线的长度.本题考查了求的体积公式,三角形的面积公式,对几何空间想像能力要求较高,能想像出此几何体的立体影像.