已知F是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,点E在以AB为直径的圆内,则该双曲线的离心率e的取值范围为(  )

问题描述:

已知F是双曲线

x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左焦点,E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,点E在以AB为直径的圆内,则该双曲线的离心率e的取值范围为(  )
A. (1,+∞)
B. (1,2)
C. (1,1+
2

D. (2,+∞)

由题意,直线AB方程为:x=-c,其中c=

a2+b2

因此,设A(-c,y0),B(-c,-y0),
c2
a2
-
y02
b2
=1,解之y0=
b2
a
,得|AF|=
b2
a

∵双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内部
∴|EF|<|AF|,即a+c<
b2
a

将b2=c2-a2,并化简整理,得2a2+ac-c2<0
两边都除以a2,整理得e2-e-2>0,解之得e>2(舍负)
故选:D.