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已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA＝35，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y．（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长；（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域；（3）连接EC，如图2，求当x为何值时，△AEC与△BEF相似？

分类: 作业答案 • 2021-12-19 12:07:09
问题描述：

已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，cosA＝

3
5
，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y．

（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长；
（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）连接EC，如图2，求当x为何值时，△AEC与△BEF相似？

答

（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．
∵∠A=∠AED，
∴AD=ED，
∴AH＝

1
2
AE，
∵cosA＝
3
5
，AD=x，
∴AH＝
3
5
x，
∴AE＝
6
5
x．
（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．
∴
DG
AB
＝
CD
AC
，
∵AB=4，AC=5，
∴
DG
4
＝
5−x
5
，
∴DG＝
20−4x
5
，
∵AB∥DG，
∴
BE
DG
＝
FE
FD
，
∵BE＝4−
6
5
x，EF=y，
∴
4−
6
5
x
20−4x
5
＝
y
y+x
，
∴y＝10−3x(0＜x＜
10
3
)．
（3）∵∠AED=∠FEB，∠AED=∠A，
∴∠A=∠FEB，
当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：
①∠A=∠FEB，
AE
AC
＝
BE
EF
，
∴
6
5
x
5
＝
4−
6
5
x
y
，
又∵y=10-3x，
∴x＝
5
3
；
②∠A=∠FEB，
AE
AC
＝
EF
BE
，
∴
6
5
x
5
＝
y
4−
6
5
x
，
又∵y=10-3x，
∴x＝
125
12
（舍）．
综上所述，当x＝
5
3
时，△AEC与△BEF相似．
答案解析：（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．根据等腰三角形的性质和三角函数的定义可得含x的代数式表示线段AE的长；
（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．根据平行线分线段成比例可得y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：①∠A=∠FEB，
AE
AC
＝
BE
EF
；②∠A=∠FEB，
AE
AC
＝
EF
BE
；根据相似三角形的性质可得x的值．
考试点：相似形综合题．
知识点：考查了相似形综合题，其中包括等腰三角形的性质、三角函数、平行线分线段成比例、相似三角形的性质，其中第三问要分两种情况讨论，综合性较强，有一定的难度．

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