已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y. (1)用含y的代数式表示AE,得AE=_; (2)求y与x之间的函数

问题描述:

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上,分别作DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.
(1)用含y的代数式表示AE,得AE=______;
(2)求y与x之间的函数关系式,并求出x的取值范围;
(3)设四边形DECF的面积为S,求出S的最大值.

(1)由已知得DECF是矩形,故EC=DF=y,AE=8-EC=8-y;
(2)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

DE
BC
AE
AC
,即
x
4
8−y
8

∴y=8-2x(0<x<4);
(3)S=xy=x(8-2x)=-2(x-2)2+8,
∴当x=2时,S=-2(2-2)2+8,即S有最大值8.