在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为x秒.(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,设△EDQ的面积为y(cm2),求y与时间x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形.

问题描述:

在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点D在BC上,且CD=3cm现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以1cm/s的速度,沿AC向终点C移动;点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动.过点P作PE∥BC交AD于点E,连接EQ.设动点运动时间为x秒.

(1)用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)当点Q在BD(不包括点B、D)上移动时,
设△EDQ的面积为y(cm2),求y与时间x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)当x为何值时,△EDQ为直角三角形.

(1)在Rt△ADC中,AC=4,CD=3,∴AD=5,
∵EP∥DC,∴△AEP∽△ADC,

EA
AD
AP
AC
EA
5
x
4
,∴EA=
5
4
x
,DE=5-
5
4
x
…(3分)
(2)∵BC=5,CD=3,∴BD=2,
当点Q在BD上运动x秒后,DQ=2-1.25x,
则y=
1
2
×DQ×CP=
1
2
(4−x)(2−1.25x)=
5
8
 x2
7
2
x+4
…(6分)
即y与x的函数解析式为:y=
5
8
x2
7
2
x+4
,其中自变量的取值范围是:0<x<1.6.
(3)分两种情况讨论:
①当∠EQD=90°时,显然有EQ=PC=4-x,又∵EQ∥AC,∴△EDQ∽△ADC
EQ
AC
DQ
DC
,DQ=1.25x-2
4−x
4
1.25x−2
3
…解得x=2.5…(9分)

②当∠QED=90°时,
∵∠CDA=∠EDQ,∠QED=∠C=90°∴△EDQ∽△CDA
DQ
DA
Rt△EDQ斜边上的高
Rt△CDA斜边上的高

Rt△EDQ斜边上的高:4-x,
Rt△CDA斜边上的高为:
12
5

1.25x−2
5
5(4−x)
12

解得x=3.1.
综上所述,当x为2.5秒或3.1秒时,△EDQ为直角三角形.…(12分)

答案解析:(1)通过△AEP∽△ADC,列出比例关系,即可用含x的代数式表示AE、DE的长度;
(2)Q在BD上运动x秒后,求出DQ、CP,即可表示y与时间x的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围;
(3)通过∠EQP=90°,∠QED=90°,分别通过三角形相似,列出比例关系,求出x的值,说明△EDQ为直角三角形.
考试点:解三角形.
知识点:本题是中档题,借助三角形考查函数的应用,以及三角形相似的性质,注意分类讨论思想的应用,考查计算能力.