如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.求证:∠C=∠BAE.
问题描述:
如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线.
求证:∠C=∠BAE.
答
证明:延长AE到F,使EF=AE,连接DF,
∵AE是△ABD的中线
∴BE=ED,
在△ABE与△FDE中
∵
,
BE=DE ∠AEB=∠DEF AE=EF
∴△ABE≌△FDE(SAS),
∴AB=DF,∠BAE=∠EFD,
∵∠ADB是△ADC的外角,
∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD,
∴∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD,
∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD,
∴∠ADF=∠ADC,
∵AB=DC,∴DF=DC,
在△ADF与△ADC中
∵
,
AD=AD ∠ADF=∠ADC FD=DC
∴△ADF≌△ADC(SAS)
∴∠C=∠AFD=∠BAE.
答案解析:延长AE到F,使EF=AE,连接DF,可证明△ABE≌△FDE,则∠BAE=∠EFD,∠B=∠EDF,再由外角的性质得出∠ADF=∠ADC,则△ADF≌△ADC(SAS),则∠AFD=∠C,从而得出∠C=∠BAE.
考试点:相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.
知识点:本题考查了全等三角形的判定和性质,解题的关键是证明两个三角形全等.