已知一个数列{an}的各项是1或3．首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,…,记该数列的前n项的和为Sn．（1）试问第2006个1为该数列的第几项?（2）求a2006；（3）求该数列的前2006项的和S2006；

将第k个1与第k+1个1前的3记为第k组,即1，3为第1组,有2项;1,3,3,3,为第2组，共4项;第k组,共1+（2k-1)=2k项；
故前k组共有项数为2+4+6+…+2k=k*(k+1)
1.第2006个1所在的项为前2005组所在全部项的后1项，
即为2005*(2005+1)+1=4014013
2.因44×45=1980，45×46=2070，故第2006项在第45组内，从而a2006=3
3.前2006项*有45个1，其余1961个数均为3，于是S2006=45+3×1961=5928

(1)先求有多少个3,即1到2K-1的和:k+k(k-1)=2006+2006*2005=2006*2006=4024036
又有2005个1,所以第2006个1为第4024036+2006=4026042项
(2)k+k+k(k-1)是1的项数,当K为44时,即第44个1在1980项,第45个1在2070项,所有第2006项是3
(3)有44个1
1936+26个3 即1962个3
所以S2006=44+1962*3=44+5886=5930

等你自己挑战出来在来问别人吧

（1）试问第2006个1为该数列的第几项
解:第k个1和第k+1个1之间有2k-1项,即从第k个1到第k+1个1之间有2k项,故
2+4+6+..........+2*k+..........+2*2005+1=2*(1+2+3+...+2005)+1=4022031
（2）求a2006；
2006=(1+k)*k => k^2+k-2006=0

k无实数解,故此项为3
3、2*（1+2+3+......+44）＝（1+44）*44＝1980
2*(1+2+3+.......+45)=(1+45)*45=2070
故共有44个1,也就是2006-44=1962个3,所以Sn=44*1+1962*3=5930

将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对,即(1,3)为第1对,共1+1=2项；（1,3,3,3）为第2对,共1+(2×2-1)=4项； 为第k对,共1+（2k-1） =2k项；…．故前k对共有项数为2+4+6+…+2k=k(k+1)．
（Ⅰ）第2006个1所在的项为前2005对所在全部项的后1项,
即为2005(2005+1)+1=4022031（项）．
（Ⅱ）因44×45=1980,45×46=2070,故第2006项在第45对内,从而a2006=3
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知,前2006项*有45个1,其余1961个数均为3,于是S2006=45+3×1961=5928．

好难！

(1)
先将数列划分为如下子串:
(13)(1333)(133333)(13333333)....
第k个1所在子串有2k项.
故1到2005个子串,共有(1+2+...+2005)*2=(2006*2005)项
所以第2006个1在(2006*2005+1) 项
(2)
由(1)题得,第k个1所在项为k(k-1)+1
即,第k个1在[k(k-1)+1]项
而当2006=k(k-1)+1时,k无整数解
故a2006不为1,即a2006=3
(3)
45*44+1所以a2006在第45个1所在的子串
而第45个1在第(45*44+1=1981)项,故1982到2006均为3
前2006项中,除45个1,还有2006-45=1961个3
S2006=3*1961+45=5928