已知,如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.(1)若DG=2,求证四边形EFGH为正方形;(2)若DG=6,求△FCG的面积;(3)当DG为何值时,△FCG的面积最小.

问题描述:

已知,如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.
(1)若DG=2,求证四边形EFGH为正方形;
(2)若DG=6,求△FCG的面积;
(3)当DG为何值时,△FCG的面积最小.

(1)∵四边形ABCD为矩形,四边形HEFG为菱形,∴∠D=∠A=90°,HG=HE,又AH=DG=2,∴Rt△AHE≌Rt△DGH(HL),∴∠DHG=∠HEA,∵∠AHE+∠HEA=90°,∴∠AHE+∠DHG=90°,∴∠EHG=90°,∴四边形HEFG为正方形;(2)...
答案解析:(1)由于四边形ABCD为矩形,四边形HEFG为菱形,那么∠D=∠A=90°,HG=HE,而AH=DG=2,易证△AHE≌△DGH,从而有∠DHG=∠HEA,等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°,易证四边形HEFG为正方形;
(2)过F作FM⊥DC,交DC延长线于M,连接GE,由于AB∥CD,可得∠AEG=∠MGE,同理有∠HEG=∠FGE,利用等式性质有∠AEH=∠MGF,再结合∠A=∠M=90°,HE=FG,可证△AHE≌△MFG,从而有FM=HA=2(即无论菱形EFGH如何变化,点F到直线CD的距离始终为定值2),进而可求三角形面积;
(3)先设DG=x,由第(2)小题得,S△FCG=7-x,在△AHE中,AE≤AB=7,利用勾股定理可得HE2≤53,在Rt△DHG中,再利用勾股定理可得x2+16≤53,进而可求x≤

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,从而可得当x=
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时,△GCF的面积最小.
考试点:正方形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质;矩形的性质.

知识点:本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理.解题的关键是作辅助线:过F作FM⊥DC,交DC延长线于M,连接GE,构造全等三角形和内错角.