已知,如图1,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2,连接CF.(1)如图2,当四边形EFGH为正方形时,求AE的长和△FCG的面积;(2)如图1,设AE=x,△FCG的面积=y,求y与x之间的函数关系式与y的最大值.

问题描述:

已知,如图1,矩形ABCD中,AD=6,DC=8,矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上,AH=2,连接CF.

(1)如图2,当四边形EFGH为正方形时,求AE的长和△FCG的面积;
(2)如图1,设AE=x,△FCG的面积=y,求y与x之间的函数关系式与y的最大值.

(1)作FM⊥CD于M,
可证△AEH≌△DHG≌△MGF,
∴AE=DH=6-2=4,
DG=AH=2,
∴△FCG的面积=

1
2
×6×2=6;
(2)可证△AEH∽△DHG,
DG
AH
DH
AE
,即
DG
2
4
x

DG=
8
x

∴y=△FCG的面积=
1
2
×(8−
8
x
)×2=8−
8
x

8−
8
x
>0
x≤8

∴1<x≤8,
∴当x=8时,y的最大值为7.
答案解析:(1)要求AE的长和△FCG的面积,需先证△AEH≌△DHG≌△MGF
(2)先证△AEH∽△DHG,然后根据比例关系,求出y与x之间的函数关系式与y的最大值
考试点:矩形的性质;相似三角形的判定与性质.

知识点:此题考查了矩形的性质及相似和全等三角形的判定.