已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．
问题描述：
已知，如图1，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）如图2，当四边形EFGH为正方形时，求AE的长和△FCG的面积；
（2）如图1，设AE=x，△FCG的面积=y，求y与x之间的函数关系式与y的最大值．
答
知识点：此题考查了矩形的性质及相似和全等三角形的判定．
（1）作FM⊥CD于M，
可证△AEH≌△DHG≌△MGF，
∴AE=DH=6-2=4，
DG=AH=2，
∴△FCG的面积=
×6×2＝6；1 2
（2）可证△AEH∽△DHG，
∴
＝DG AH
，即DH AE
＝DG 2
，4 x
∴DG＝
，8 x
∴y=△FCG的面积=
×(8−1 2
)×2＝8−8 x
，8 x
∵
，
8−
＞08 x x≤8
∴1＜x≤8，
∴当x=8时，y的最大值为7．
答案解析：（1）要求AE的长和△FCG的面积，需先证△AEH≌△DHG≌△MGF
（2）先证△AEH∽△DHG，然后根据比例关系，求出y与x之间的函数关系式与y的最大值
考试点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
知识点：此题考查了矩形的性质及相似和全等三角形的判定．