已知圆C：(X-1)²+（y-2）²=25直线（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0,求证直线与圆相交求直线被圆所截的最短弦长时直线的方程和最短弦长

把直线整理一下，得到，
(x+y-4)+m(2x+y-7)=0
可以看出无论m取何值，直线总是恒过定点(3,1)
(3,1)这点在圆的内部，直线恒过圆内一点，所以相交
最长的弦是过圆心，最短的弦是(3,1)是弦的中点
最长弦是10，最短弦自己算吧

把直线化简成 m(2x+y-7)+x+y-4=0
令 2x+y-7=0 x+y-4=0 解出来 x=3 y=1
这就说明 这条直线过定点 （3,1）
显然这个定点在圆内，所以 直线和圆肯定相交。
最短弦长就应该是直线与圆心和定点连成 的直线相垂直。圆心和定点连成的直线的斜率是 -1/2
所以直线的斜率应该是2 这样直线就求出来了。弦长就可求了。

1）由（2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 得
m(2x+y-7)+(x+y-4)=0
令 2x+y-7=0,x+y-4=0,解得 x=3,y=1
所以,直线 （2m+1）X+(m+1)Y-7m-4=0 恒过定点 P（3,1）.
由于 (3-1)^2+(1-2)^2=5因此,直线与圆恒有两个交点.
2）圆心（1,2）,半径 r=5
直线被圆所截的弦最短,则圆心到直线的距离最长.
由于 d所以,直线被圆所截的弦最短时,圆心到直线的距离 d=√5,
此时 CP丄L,
由于 kCP=(1-2)/(3-1)=-1/2,
所以 kL=2,故方程为 y-1=2(x-3) 即 2x-y-5=0,
并且 最短弦长=√（r^2-d^2)=√(25-5)=2√5.