已知直线l:kx-y+k+2=0,圆C:x方+y方-4x-16=0 1 求证:不论实数k为何值,直线l与圆C总有两个不同的焦点 2当直线l与圆C相交锁的弦最短时,求直线l的方程及弦长

问题描述:

已知直线l:kx-y+k+2=0,圆C:x方+y方-4x-16=0 1 求证:不论实数k为何值,直线l与圆C总有两个不同的焦点 2当直线l与圆C相交锁的弦最短时,求直线l的方程及弦长

(1)直线方程可以改写成k(x+1)=y-2
所以无论k为何值时,当x+1=0且y-2=0时,这个式子始终成立
所以,直线恒经过一点(-1,2)
圆的圆心为(2,0),半径为2*根号5
定点(-1,2)到圆心(2,0)的距离等于根号13,小于半径,
所以定点在圆内,直线与圆C总有两个不同的交点
(2)当直线垂直于过定点的直径时,直线与圆C相交所得弦最短
此时,过定点的直径的方程为y=-2/3*(x-2)
所以直线方程为y-2=3/2*(x+1)
弦长为2×根号(r^2-d^2)=2*根号7 (d为定点到圆心的距离,即根号13)