在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立.(1)求角C的最大值;(2)若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小.

问题描述:

在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立.
(1)求角C的最大值;
(2)若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小.

(1)易知cosC=0不满足条件,因此cosC≠0,由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立,∴△=16sin2C-24cosC≤0,cosC>0,化为2cos2C+3cosC-2≥0,解得cosC≥12,又0<C<π,当cosC=12时,角C取得最大值π3.(...
答案解析:(1)易知cosC=0不满足条件,因此cosC≠0,由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立⇔△=16sin2C-24cosC≤0,cosC>0,化为2cos2x+3cosx-2≥0,
解得及0<C<π,即可得到角C取得最大值.
(2)角C取得最大值时为

π
3
,由a=2b,根据正弦定理可得sinA=2sinB,于是sin(
3
−B)=2sinB
,化为cosB=
3
sinB,与sin2B+cos2B=1联立及B<A,即可得出.
考试点:三角函数的最值.

知识点:熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式△的关系、分类讨论的思想方法、三角函数的单调性、平方关系、两角和差的正弦余弦公式等是解题的关键.