在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立. (1)求角C的最大值; (2)若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小.

问题描述:

在△ABC中,已知a、b、c分别是角A、B、C的对边,不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立.
(1)求角C的最大值;
(2)若角C取得最大值,且a=2b,求角B的大小.

(1)易知cosC=0不满足条件,因此cosC≠0,
由不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立,
∴△=16sin2C-24cosC≤0,cosC>0,化为2cos2C+3cosC-2≥0,
解得cosC≥

1
2

又0<C<π,当cosC=
1
2
时,角C取得最大值
π
3

(2)角C取得最大值时为
π
3

∵a=2b,根据正弦定理可得sinA=2sinB,
sin(
3
−B)=2sinB
,化为cosB=
3
sinB,与sin2B+cos2B=1联立解得cos2B=
3
4

∴a=2b,∴B<A,∴cosB=
3
2

∴B=
π
6