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已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式1a+1b+1c≥Ma+b+c恒成立，则实数M的最大值是（　　）A. 6+23B. 5+ 32C. 6+22D. 9

分类: 作业答案 • 2021-12-19 11:56:45
问题描述：

已知a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，若实数M使不等式

1
a
+
1
b
+
1
c
≥
M
a+b+c
恒成立，则实数M的最大值是（　　）
A. 6+2
 3

B. 5+ 3
 2

C. 6+2
 2

D. 9

答

设

a
c
=sinα，则
b
c
=cosα
则(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)=3+
1+(sinα+cosα)(1+sinαcosα)
sinαcosα

设t=sinα+cosα，则1＜t≤
 2
，sinαcosα=
t2−1
2

代入得(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)＝4+(t−1) +
2
t−1

而f（x）=x+
2
x
，在0＜x≤
 2
时单调递减，
所以(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)＝4+(t−1) +
2
t−1
≥5+3
 2

所以M最大值为5+3
 2

故选B
答案解析：由于a，b，c是直角三角形的三边，其中c为斜边，可设
a
c
=sinα，则
b
c
=cosα，从而将(a+b+c)(
1
a
+
1
b
+
1
c
)转化为用三角函数指数进行解决．
考试点：基本不等式．
知识点：本题以直角三角形为载体，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，同时考查了恒成立问题的处理．

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