如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4根号五1）设M施PC上的一点,证明：平面MBD⊥平面PAD（2）求四棱锥P-ABCD的体积
问题描述：
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4根号五
1）设M施PC上的一点,证明：平面MBD⊥平面PAD
（2）求四棱锥P-ABCD的体积
答
1).取AD中点Q，连结PQ，因为△PAD是等边三角形，所以PQ⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
所以PQ⊥BD。
因为AD=4，AB=4√5，BD=8，所以AD²+BD²=AB²，所以BD⊥AD，
所以BD⊥平面PAD。
因为BD包含于平面MBD，所以平面MBD⊥平面PAD。
2).过D作DE⊥AB于E，则1/2AD*BD=1/2AB*DE，所以DE=8√5/5
所以底面梯形面积=1/2(2√5+4√5)*(8√5/5)=24
所以四棱锥体积为1/3*24*PQ=8*(√3/2*4)=16√3
答
1）由勾股定理可知：△ADB为直角三角形,角ADB为直角,即BD⊥AD,
又由平面PAD⊥平面ABCD可得：BD⊥平面PAD,
因BD在平面MBD上,故平面MBD⊥平面PAD
2）四边形ABCD的面积＝△ADB的面积＋△CDB的面积
△CDB与△ADB具有相同的高,而底边AB=2DC,
故△CDB的面积＝△ADB的面积的一半
故四边形ABCD的面积＝△ADB的面积×1．5＝4×8÷2×1．5＝24
四棱锥P-ABCD的高＝2√3
故四棱锥P-ABCD的体积＝24×2√3÷3＝16√3