正方形ABCD中,E是AC上一点,EF⊥AB,EG⊥AD,AB=6,AE:EC=2:1.求四边形AFEG的面积.

问题描述:

正方形ABCD中,E是AC上一点,EF⊥AB,EG⊥AD,AB=6,AE:EC=2:1.求四边形AFEG的面积.

正方形ABCD中,∠DAB=90°,∠DAC=45°,
又∵∠AFE=∠AGE=90°,
∴四边形AFEG是矩形,∠AEG=90°-∠DAC=45°,
∴∠GAE=∠AEG=45°,
∴GE=AG,
∴矩形AFEG是正方形,
∵四边形ABCD是正方形,
∴正方形AFEG∽正方形ABCD,

S正方形AFEG
S正方形ABCD
=(
AE
AC
2=(
2
3
2=
4
9

∴S正方形AFEG=
4
9
S正方形AFEG=
4
9
×62=16.
答案解析:先证明四边形AFEG是正方形,再由相似的定义得出正方形AFEG∽正方形ABCD,然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可求解.
考试点:相似三角形的判定与性质;正方形的性质;相似多边形的性质.

知识点:本题考查了相似多边形的判定与性质,难度适中,证明四边形AFEG是正方形是解题的关键.