已知mn是二次函数f(x)=x²+(2-k)x+k²+3k+5的两个零点,求m²+n²的最大值和最小值
问题描述：
已知mn是二次函数f(x)=x²+(2-k)x+k²+3k+5的两个零点,求m²+n²的最大值和最小值
最大值是18,最小值是50/9在解题过程中,当k分别等于-4/3和-4的时候,才会得出这个结果,可是k不是大于-4小于-4/3的么,怎么可以等于呢
答
有零点的前提是判别式不小于0,
∴(2-k)²-4(k²+3k+5)≥0
→-4≤k≤-4/3.
对于f(x)＝0,依韦达定理得
m+n＝k-2,mn＝k²+3k+5.
∴m²+n²＝(m+n)²-2mn
＝(k-2)²-2(k²+3k+5)
＝-(k+5)²+19.
考虑到-4≤k≤-4/3,即k取不到-5,
∴k＝-4时,(m²+n²)|max＝-(-4+5)²+19＝18；
k＝-4/3时,(m²+n²)|min＝-(-4/3+5)²+19＝50/9.亲，题目中说了有两个零点呀这与解一元二次方程时，“方程有两个实数根”与“方程有两个不相等的实数根”的区别一样，“有两个零点”与“有两个不同的零点”是有区别的。