如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合),过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,求当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?

问题描述:

如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合),过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,求当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?

设BP=x,在直角三角形PBE中,∠BPE=30°
∴BE=

1
2
x,
则EC=2-
1
2
x.
在直角△EFC中,∠FEC=30°,
∴FC=
1
2
EC=1-
1
4
x.
∴AF=2-FC=2-(1-
1
4
x)=1+
1
4
x.
同理:AQ=
1
2
AF=
1
2
+
1
8
x
当点P与点Q重合时,
BP+AQ=2
即x+(
1
2
+
1
8
x)=2
解得:x=
4
3

故当BP=
4
3
时,点P与点Q重合.