如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合),过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,求当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?
问题描述:
如图,在等边△ABC中,AB=2,点P是AB边上任意一点(点P可以与点A重合),过点P作PE⊥BC,垂足为E,过点E作EF⊥AC,垂足为F,过点F作FQ⊥AB,垂足为Q,求当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?
答
设BP=x,在直角三角形PBE中,∠BPE=30°
∴BE=
x,1 2
则EC=2-
x.1 2
在直角△EFC中,∠FEC=30°,
∴FC=
EC=1-1 2
x.1 4
∴AF=2-FC=2-(1-
x)=1+1 4
x.1 4
同理:AQ=
AF=1 2
+1 2
x1 8
当点P与点Q重合时,
BP+AQ=2
即x+(
+1 2
x)=21 8
解得:x=
4 3
故当BP=
时,点P与点Q重合.4 3